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关于"0"和"自然数"

  关于"0"和"自然数"的问题,我们曾在《教育实验》通讯2003年第1期,就这一问题,刊发了有关文章和资料,并在此前相关的师讯会上作过说明。近斯又收到湖北省蕲春县刘河镇莲花小学陈丛新等同志来信:问"0"到底是不是自然数?为此,现将《数学辞海》(山西教育出版社、中国科学技术出版社、东南大学出版社联合出版,2002年8月1日第1版)第一卷17~19页,有关条目,摘抄如下供参考。
                    
                          华中师范大学启发式教学实验研究中心课题组


 ▲自然数(natural number)亦称非负整数。数学中最基本的一种数。即0,1,2,3,…表示的数,它是从数数过程中产生的。作为数数的结果,自然数反映了被数事物的个数,这是自然数作为基数的特点;作为数数的过程,自然数又反映了被数事物的先后顺序,以及自然数的无限性,这是自然数作为序数的特点。如果一个事物没有,就形成了"0"的概念,0比1还小,所以可以排在自然数列的最前面。数1是自然数的单位,从0开始,以后逐个加1,这样无限的进行下去就可以得到全体自然数。所以,自然数集合是无限的,对于任一个确定的自然数,总还存在比它更大的自然数。从自然数的产生进程可以知道:每个自然数都是表示一类对等集合的共同特征的符号。或者说,每一个自然数都是一类对等集合的标记。例如自然数0是无事物可数这样一类对等集合(空集)的标记,自然数1是以月亮为代表的一类对等集合的标记;自然数2是以一个人的眼睛为代表的一类对等集合的标记……由于自然数不是无限集合的标记,因此,可以认定:自然数是一类对等的有限集合的标记,或者说,自然数表示有限集合中元素的个数。根据两集合之间的对等与包含关系,可以给出两个自然数大小关系的定义:设自然数a与b分别代表有限集合A与B的元素的个数,那么:
 1.若A对等于B,则称a等于b,记为a=b。
 2.若A对等于B′,且B′?B,则称a小于b,记为a<b。
 3.若A?A′,且A′对等于B,则称a大于b,记为a>b。
 由此定义可知:对于任意两个自然数a与b,三种关系:a=b,a>b,a<b必有一种且仅有一种成立。这个结论称为自然数的三歧性,或称为自然数的全序性。随着社会生产力的发展,对自然数的研究也提出了更高的要求,根据自然数的基数和序数的特点,产生了自然数的两种严格理论:自然数的基数理论和序数理论。它们是进一步定义实数的基础。这些理论是在19世纪中、末叶分别由佩亚诺(Peano,G.)和康托尔(Cantor,G.(F.P.))完成的。在数学理论的发展中自然数集的定义并不包含0,1993年开始新的国家标准定义自然数集N含0,这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准,以便与之早日相衔接;另一方面,0还是十进位数数字{0,1,2,…,9}中最小的数,有了0,减法运算a-a仍属于N,其中a∈N。
 ▲非负整数(nonnegative integer)即"自然数"。
 ▲正整数(positive integer)自然数的一部分。即非零自然数。
 ▲整数(integer)数系中最基本的一种。即正整数、零、负整数的统称。自然数都是整数,但整数不一定都是自然数。
 ▲自然数集(set of natural numbers)一种特定的集合。指全体自然数的集合。常用符号N表示。自然数集有如下性质:
 1.在自然数集N中,有一个最小的自然数0;在N中除去0之后,其余的自然数构成的数集称为正整数集,常用符号N+(或N*)表示,1在N+中是最小的元素;在N和N+中都没有最大的自然数;它们都是无限集。
 2.自然数1通常称为单位。
 3.在N或N+中,任取一数在它上面加单位1,所得的数称为该数的后继数。从最小元素开始逐个加1,这样无限地进行下去,就可得到该数集中所有其他元素,最小元素不是任何元素的后继数。.
 4.1可整除任何自然数,其商仍为原自然数,所以1是任何自然数的约数。.
 5.0加任何自然数,其和仍是原来那个自然数。1乘任何自然数,其积仍是原来那个自然数,所以自然数都是1的倍数。
 6.1不是质数,也不是合数。
 7.如果0具有性质P,则任何具有性质P的自然数的后继数都具有性质P(此即归纳原则,是完全归纳法的有理)。
 8.在自然数集N中的数,可以按顺序一个一个地数下去,所以自然数集是可数集。
 9.在自然数集N中的任意两个元素都可以比较大小,所以自然数集是有序集。
 10.在自然数集N中,加法与乘法两种运算,总可以实施,即自然数的和与积仍是自然数。
 11.在自然数集N中的加法、乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律。
 12.在自然数集N中的加法、乘法运算满足消去律:
   m+k=n+k?m=n (m,n,k∈N),
   mok=nok?m=n (m,n∈N;k∈N+ )。
 13.自然数集的任一非空子集必存在一个最小的自然数,此结论称为最小原理。
 ▲正整数集(set of positive integers)见"自然数集"。
 ▲后继数(successor number)见"自然数集"。
 ▲最小原理数(principle of the minimum number)见"自然数集"。
 ▲编号(numbering) 算术的基本概念之一。指使自然数集中若干相继元素构成的子集,与某物体集合之间建立一一对应的关系。 在数物体时,常从自然数1开始(有时也从其他数开始),使每个物体都与一个不相同的自然数相对应,且这些自然数又是相继的。像这样把每个物体附着一个自然数,称为对这些物体的编号。在编号以后,每一物体都有自己的号码,则物体的差别可根据它们不同的号码来确定。编号在生活、生产、科研等方面有广泛的应用。如旅店对房间的编号(不一定从1编起);某县考生的考号(亦非从1起),常划给一个考号段,要求在规定的考号段内进行编号。
 ▲佩亚诺公理(Piano axiom)关于自然数理论的公理系统。1889年,佩亚诺(Peano,G..)对自然数给出一个公理化的处理方法,他证明自然数的性质可以在很少几条公理的基础上展开。佩亚诺公理系统是满足下列五条公理的三元组<N,S,e>,其中N是一非空集合,S:N→N是映射,e∈N是一个特殊的元素:
 1.e∈N,即e是N的元素。
 2.A∈N?S(a)∈N,即如果a是N的元素,则S(a)也是N的元素。
 3.S(a)=S(b)?a=b,即每个元素若有前任(指S下的原象),则是惟一的。
 4.a∈N?S(a)≠e,即特殊元素e不是N是任何元素的后继(指S下的象)。
 5.N的任何子集A,如果包含e,并且对S封闭,则A=N。
 公理5亦称归纳公理,是数学归纳法的理论根据。
 满足以上公理的N,被称为自然数集合,N中的元素称为自然数,e称为幺元(或单位元)。不难验证,当人们把直觉上的自然数集合{0, 1,2,3,…}记为N0,S0(a)定义为a+1,e=1,则<N0,S0, 1>满足1~5;反之亦可证明任何满足佩亚诺公理的集合与直觉上的自然数集N0构。
 ▲自然数的基本顺序律(law of basic order of natural numbers)自然数比较大小的基本规律。比较自然数的大小时,有如下基本顺序律:
 1.全序性。若a,b∈N,则a>b, a=b,a<b,三者必有且仅有一种能成立(即自然数的三歧性)。
 2.传递性。若a,b,c∈N,且a≥b,b≥c,则a≥c。
 3.反对称性。若a,b∈N,且a≥b,又a≤b,则必有a=b。
 ▲自然数的三歧性(trichotomy of natural numbers)见"自然数的基本顺序律。
 ▲自然数的序数定义(ordinal definition of natural numbers)自然数定义的方式之一。序数是在数数的过程中产生的。所谓数数,就是把被数事物的集合与自然数集合(标准集合)之间建立一一对应的关系。如果被数事物是有限集,就是与自然数集的前面片断(子集合)建立一一对应关系;如果被数事物是无限集合,就是与全体自然数建立一一对应关系。被数事物集合中的每个元素的位置就是一个自然数。被数事物的位置顺序若为:第0个,第1个,第2个,第3个……第n个……则0,1,2,3,…,n,…就称为序数。数学的发展要求将自然数的一些基本性质抽象为公理化体系。1889年,佩亚诺(Peano,G.) 首先给出公理形式的自然数定义。佩亚诺以后,又有人改述自然数的公理定义,如雅各布森(Jacobson,N.)和格列尔特(Gellert,W.)都曾给出过不同的公理形式的自然数定义。
 ▲自然数的基数定义(Cardinal definition of natural numbers)自然数定义的方式之一。每一个有限集合中的元素个数都对应着一个自然数。在同一类有限集合中,它们具有一个共同的特征,就是所含元素的个数相同。例如,三枝铅笔,三头牛,三架飞机是同一类对等集合,它们的共同特征是3,数量3就是它们的基数,所以,用以表示事物数量多少的自然数,就是基数。一般地说,把对等的有限集合所具有的共同特征,称为这类对等集合的基数。因此,有限集合的基数,就是自然数。但是,自然数集合是无限的,对一切能与自然数集建立一一对应关系的无限可数集合的基数,规定为?0(读作阿勒夫零,?是希伯来文的第一个字母)。有了自然数的基数定义,就可定义数的顺序及其四则运算,即可建立自然数的基数理论,甚至建立自然数的公理体系(参"佩亚诺公理")。
 ▲零(zero)既是一个基本的概念,又是一个独立的数。在数字产生的初始阶段,人们在计数时,常常遇到没有事物的情况,逐步形成用符号"0"来表示没有,这是零的原始概念。零是第一个阿拉伯数字,在记数法中,当一个数的某些数位上一个计数单位也没有时(即空位,历史上有采用空格表示的),就在这些数位上用0表示,例如,八十记为80,三百零二记为302等。零是一个整数,而且是一个偶数。在零不算自然数时,常把0添加在自然数之前,称为扩大的自然数列。在集合论中,把零纳入自然数列。零不是正数,也不是负数,而是惟一的中性数:零比任何正数小,比任何负数大,它是正数、负数的界限。
零作为一个独立的数,不仅可以表示没有,而且具有非常确定的内容。在计量中,0℃(摄氏0度)不能理解成没有温度,而是实际温度的计量结果;0还可作刻度的起点、坐标原点、东西经度和南北纬度的分界线等。零在运算中起很重要的作用:零与任何数的和仍是这个数,即a+0=0+a=a;任何数减零仍是这个数,零减去任何数所得的差则是这个数的相反数,即a-0=a,0-a=-a;零与任何数的积,规定为零,即ao0=0oa=0,0o0=0;零除以任何数(不包括零)还得零,即0÷a=0;但零不能作除数。因为在除法中,假设除数是零,则会出现两种情况:
 1.被除数不为零,根据除法定义,任何数与零相乘的积必为零,不可能得到这个不为零的被除数,所以商不存在。
 2.被除数也是零,根据除法定义,任何数与零相乘的积都是零,所以商不确定,因而,零没有倒数。另外,还规定:一个非零的数的零次幂等于1,即a0 =1(a≠0);零的阶乘是1,即0!=1。
 ▲自然数列(sequence of natural numbers)一种独特的集合。指将全体自然数按照从小到大的顺序排成的一列数。自然数列有以下性质:
 1.有始:自然数列最前面的一个自然数是0。
 2.良序:在自然数列里,每两个自然数都可以比较大小。因此,自然数列是一个良序集合。
 3.无界:在自然数列里,对于任何一个自然数都存在比它大的自然数。
 自然数与自然数列这两个概念是有区别的,自然数列指的是0, 1,2, 3,…这一列有顺序的数的全体,它是一个无限集合,而自然数只是这个集合中的元素。
 ▲非负整数列(sequence of nonnegative integers)即"自然数列"。



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